Des matrices et des congruences... - Corrigé

Énoncé

Poursuivons l'exercice D'après bac S, 2015, Amérique du Nord.

On reprend la matrice  \(M=\begin{pmatrix} 1&1&1\\1&-1&1\\4&2&1 \end{pmatrix}\)  dont on a calculé l'inverse  \(M^{-1}=\dfrac{1}{6}(M^2-M-8I_3)\)  à la partie A.

Partie C - Cas général

Les nombres \(a, b, c, p, q, r\)  sont des entiers. On cherche à déterminer dans quels cas la parabole d'équation  \(y=ax²+bx+c\)  passe par les points  \(A(1;p), B(-1; q)\)  et  \(C(2; r)\) .

1. Démontrer que si \(\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix} p\\q\\r \end{pmatrix}\) , alors on a le système de congruences   \(-3p+q+2r\equiv 0 \ [6]\)
\(3p-3q\equiv 0 \ [6]\)
\(6p+2q-2r\equiv 0 \ [6]\)

2. En déduire que l'on a :  \(q-r\equiv 0 \ [3]\)  et  \(p-q\equiv 0 \ [2]\) .

3. Réciproquement, on admet que, si  \(q-r\equiv 0 \ [3]\)  et  \(p-q\equiv 0 \ [2]\)  et les points  \(A, B, C\)  ne sont pas alignés, alors il existe trois entiers  \(a, b, c\)  tels que la parabole d'équation  \(y=ax²+bx+c\)  passe par les points  \(A, B\)  et  \(C\) .
    a. Montrer que les points    \(A, B\)  et  \(C\)  sont alignés si et seulement si  \(2r+q-3p=0\) .
    b. On choisit  \(p=7\) . Déterminer des entiers  \(q, r, a, b, c\)   tels que la parabole d'équation  \(y=ax²+bx+c\)  passe par les points  \(A, B\)  et  \(C\) .

Solution

1. On a vu dans l'exercice MC6. Exercice 2 que  \(M^{-1}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} -3&1&2\\3&-3&0\\6&2&-2 \end{pmatrix}\) .
Donc  \(\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix} p\\q\\r \end{pmatrix}\)  s'écrit :
\(a=\dfrac {1}{6}(-3p+q+2r)\)
\(b=\dfrac {1}{6}(3p-3q)\)
\(c=\dfrac {1}{6}(6p+2q-2r)\)
Comme  \(a, b\)  et  \(c\)  sont des entiers,  \(6\)  divise nécessairement  \((-3p+q+2r)\)  ainsi que  \((3p-3q)\) et  \((6p+2q-2r)\) .
En utilisant les congruences, vues en arithmétique on retrouve bien :
\(\begin{cases} -3p+q+2r\equiv 0 \ [6]\\ 3p-3q\equiv 0 \ [6]\\6p+2q-2r\equiv 0 \ [6] \end{cases}\)

2. La deuxième équation donne directement    \(p-q\equiv 0 \ [2]\) .
Reprenons la troisième équation :   \(-6p\equiv 0 \ [6]\)  donc on peut ajouter  \(-6p\)  dans les deux membres de l'équation, ce qui donne  \(2q-2r\equiv 0 \ [6]\)  d'où  \(q-r\equiv 0 \ [3]\) .

3. a. Les points   \(A, B\)  et  \(C\)  sont alignés si et seulement si le déterminant des vecteurs  \(\overrightarrow{AB}\)  et  \(\overrightarrow{AC}\)  est nul.
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2\\q-p\end{pmatrix}\)  et  \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1\\r-p\end{pmatrix}\)
Ce déterminant vaut donc  \(det(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})=-2(r-p)-(q-p)=-2r-q+3p\) .
Les points   \(A, B\)  et  \(C\)  sont donc alignés si et seulement si  \(2r+q-3p=0\) .

b. On va essayer de trouver des entiers qui conviennent à partir de la condition nécessaire trouvée à la question 2, en évitant le cas de la question 3.a. 
Comme on n'a pas de condition suffisante, il faudra vérifier que la solution fonctionne.
Le premier triplet envisageable pour la condition de la question 2 est  \((p ; q ; r)=(7;1;4)\) . On a bien  \(2r+q-3p≠0\) .
Vérifions si ce triplet fonctionne. 
Cela donne  \(\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\3\\6 \end{pmatrix}\) .
Nous avons donc bien trouvé une solution possible.
La parabole d'équation  \(y=-2x²+3x+6\)  est une parabole à coefficients entiers, qui passe par les points  \(A(1 ; 7)\) ,  \(B(-1 ; 1)\)  et  \(C(2 ; 4)\) .